Умножение матрицы на вектор
Умножение матрицы на вектор
Умножение матрицы на вектор — наиболее характерная операция для вычислений в области машинной графики. Существуют различные способы формирования трехмерного изображения. В наиболее простом случае изображение на экране задается в виде опорных точек. К примеру, рассмотрим случай, когда на экране дисплея находится трехмерное изображение, состоящее из отрезков прямых. Необходимая для его формирования информация хранится в памяти как список опорных точек — концов отрезков. Если изображение дается в трехмерном изображении, то описание каждой точки удобно задать в виде четырехмерного вектора (х, у, z, w). Включение в трехмерный вектор (х, у, z) дополнительной координаты w объясняется тем, что проективные преобразования, необходимые для показа изображения с различных точек зрения, описываются матрицами 4x4. Поэтому для удобства реализации проективных преобразований, зачастую сопровождаемых операциями умножения матриц и векторов, трехмерный вектор (х, у, z) представляют в виде четырехмерного вектора (х, у, г, w), где значение w обычно принимается равным 1. Для выполнения самого преобразования, подготовленная заранее матрица преобразования умножается на этот вектор, в результате чего получается четырехмерный вектор (х1, у', г , w'). Для обратного перехода к требуемому трехмерному вектору необходимо разделить координаты х', у', г на w', после чего удалить четвертую координату w'.
Матрица М преобразования и вектор V имеют следующий вид:
m00 m01 m02 m03 x
mio mu m12 m13 у
m20 m21 m22 m23 z
m30 m31 m32 m33 w=l
Преобразования координат выполняются по формулам:
х' ™ xxm0o+yxni01+zxm02+lxm03
у' » xxm+yxnid+zxm+lxm
г = xxm20+yxm21+zxm22+lxm23
w' = xxm30 +yxm31+zxm32+lxm33
Для получения преобразованных координат в виде трехмерного вектора (x,y,z) делим х', у', z' на w':
х = x'/w' = (ххт00+ухт01+гхт02+1хт0з)/(ххт30+ухт31+гхт32+1хт3з)
У = У'/w' = (xxmlo+yxm))+zxm,2+lxm13)/(xxm3O+yxm31+zxm32+lxm33)
z - z'/w' = (xxm20+yxm2i+zxm22+lxm23)/(xxm30+yxm31+zxm32+lxm33)
Элементы матрицы И векторов представлены числами с плавающей точкой в коротком вещественном формате (4 байта).
Ниже приведены два варианта программы умножения матрицы на вектор — один с использованием стандартного сопроцессора, другой с использованием команд ХММ-расширения (с помощью профайлера можно сравнить скорость преобразования). Результирующий трехмерный вектор замещает исходный.
